Az abacustól a számítógépig – az adózás is fejlesztette a matematikát

Ez a cikk több mint egy éve került publikálásra. A cikkben szereplő információk a megjelenéskor pontosak voltak, de mára elavultak lehetnek.

Az adózás megjelenése igen erőteljesen hatott a matematika, mint tudomány fejlődésére. Kezdetben az egyszerűbb aritmetikai műveletek (összeadás, kivonás, szorzás, arányszámítás) rutinszerű alkalmazását kellett elsajátítani, később a számolási igények megkönnyítése érdekében fejlesztették az ezt lehetővé tevő eszközöket, így az adózás még a számítástechnika fejlődésére is hatással volt. Az adózási/adóztatási feladatok ellátása megrendeléseket is generált (és generál ma is) a matematikusok felé, a matematikai statisztikai módszerek alkalmazása nélkül már nem lehetne a modern adórendszereket működtetni.

Hogyan számoltak régen?

A matematika önálló tudománnyá fejlődésében jól tetten érhetők a korai társadalmak igényei. Már az őskorban is szükség lehetett a dolgok megszámlálására, az ókorban alapvetően a csillagászat, a földmérés, az építészet és az adózás számítási igényeit kellett kielégíteni. Az adózás legkezdetlegesebb formáinál is szükség volt a számláláson túl az összeadásra, kivonásra, szorzásra és arányszámításra.

Hogyan lett ebből tudomány?

Eleinte azzal számoltak, ami kéznél volt, nevezetesen – ahogyan gyakran ma is tesszük – az ujjaikon számolhattak az emberek. Ez persze elég korlátozott számbavételt jelentett, hiszen a tíz ujj nem túl sok, de a vadászzsákmány, az állatállomány számbavételéhez ez is elegendő lehetett. Később az ujjak helyett a számokat jelképező kövecskékkel, pálcákkal végezték ezeket a műveleteket, és szép lassan kialakult a helyettesítő eszközök olyan elrendezési módszere is, amely nagyobb számokkal való műveleteket is lehetővé tett.

Már 20 ezer éves vésett, karcolt csontleleteken is megtalálhatóak ezek a módszerek. A történészek a mai napig nem tudták eldönteni, hogy az abacus nevű számolási eszközt Kínában találták fel, vagy esetleg már jóval korábban Afrikában is használtak hasonló eszközöket. Én inkább azt tartom valószínűnek, hogy a számolási igény több helyen is kikényszerítette ilyen típusú eszközök használatát. Persze eredetileg nem felfűzött golyókat használtak, hanem vonalak között kis köveket rendezgettek. Az alábbi két képen az ún. Dareiosz váza és annak részlete látható, amelyen egyértelműen látható a számolási műveletek táblával, kövecskékkel való megjelenítése. A kincstárnok a beszedett adót számolja a táblán a kövecskékkel.Dareiosz vázája (i.e. 330 körül, Nápoly, Régészeti Múzeum)

Dareiosz vázája (i.e. 330 körül, Nápoly, Régészeti Múzeum)

 

A számolótábla használata

 

Nem csoda, hogy ilyen nehézségek mellett hét görög bölcs közül az egyik a matematikával foglalkozott (Thalész). Több ilyen listát is összeállítottak az ókorban, de Thalész mindegyiken rajt van, illetve van olyan lista is, amelyiken egy másik matematikus, Püthagorasz is szerepel. A középkorban a hét szabad művészetből kettő az Aritmetica (számtan) és a Geometria (mértan) is a mai értelemben vett matematikatudomány része. Mindezek jól mutatják, hogy a matematikában való jártasságot igen nagyra becsülték, és keveseknek adatott meg ennek a „művészetnek” a képessége.Herrad von Lansberg Hortus delicarium (1180) című művének miniatúrája a hét szabad művészet rendszerét ábrázolja

Herrad von Lansberg Hortus delicarium (1180) című művének miniatúrája a hét szabad művészet rendszerét ábrázolja

 

A számírás (számok szimbólumokkal való helyettesítése) megjelenítése nem sokat segített a matematikai műveletek elvégzésében, hiszen nem volt még fogalom a nullára, a negatív számokra, a helyiértékekre. A nehézségeket jól mutatja az, ha megpróbálunk két római számot összeadni vagy egymásból kivonni:

MDCCCXLIX + CDLVIII = ? vagy MDCCCXLIX – CDLVIII = ?

A számok „megfejtésével” is meg kell küzdenünk, nemhogy a műveletek elvégzésével. Persze, ha átírjuk ezeket arab számokra, már könnyedén el tudjuk végezni a műveleteket:

1849 + 458 = 2307, illetve 1849 – 458 = 1391.

Csakhogy az arab számokkal való számolás csak a reneszánsz idején jelent meg Európában, és akkor is csak a pozitív egész számokat tudták értelmezni (azaz a nullát, a negatív számokat, a törteket nem!). Persze az osztást, a hatványozást és a törtekkel való számolást ismerték már az ókorban is, de a pontos eredmény helyett gyakran megelégedtek a közelítő számításokkal, illetve a természetes számok mellett további „egységrendszereket” vezettek be.

Az abacus használata viszonylag könnyen megtanulható, lényegében ez volt az egyetlen olyan eszköz a XVII. századig, amellyel az összeadási, és a kicsit körülményesebb kivonási műveleteket megkönnyítették. Mint technikai találmány annyira sikeres volt, hogy még a XX. század végén is (nem tévedés, a huszadik!) sok helyen ezt használták a kereskedelemben (az elektromos kalkulátorok ma már olcsón elérhetőek a világ minden táján, de 30-40 évvel ezelőtt ez még nem így volt!).

Bonyolultabb műveletek (szorzás, osztás, törtekkel való számolás stb.) elvégzésére az abacus már alkalmatlan. (Az előzményekre ennél bővebben nem térek ki, akit érdekel a téma az irodalomjegyzékben található Waerden-műben még sok érdekességet találhat!)

Mechanikus számológépek a XVII. században

Technikai áttörést a számítások megkönnyítésében a XVII. század hozott. Az első jelentősebb lépést Blaise Pascal (1623. június 19. –1662. augusztus 19., francia matematikus, fizikus, vallásfilozófus, teológus, moralista és vitatkozó) tette meg, aki 1642-ben, tehát mindössze 19 évesen egy olyan szerkezetet készített először fából, amellyel legfeljebb hatjegyű számokat lehetett összeadni és kivonni.

Pascal szobra a Louvre-ban

 

Pascal a késztetést onnan kapta, hogy apja ekkoriban Rouen-ban volt adófelügyelő, adószedő (Richelieu kegyelméből), és az ő munkáját szerette volna segíteni a készített számológéppel. A gépet a következő években Pascal tökéletesítette, már rézből készítették el, és már nyolcjegyű számokkal is képes volt műveleteket végezni. Összesen hét darab készült belőlük, ezek közül több is fennmaradt és ma is működőképesek, a gépet pascaline-nak nevezték el.

Pascalt a következő szavakkal méltatta alkotását: „A számológép sok olyanra képes, ami jobban megközelíti a gondolkodást, mint az, amire az állatok képesek …”

A számokat a gép elején lévő kerekeken kell beállítani, az eredmény pedig a gép tetején lévő kis ablakokban látható. A számológép tízfogú fogaskerekeket tartalmaz, minden foga egy-egy számjegynek felel meg 0-tól 9-ig. Minden helyiértéknek megfelel egy ilyen fogaskerék (hatjegyű számokat lehet a géppel összeadni). A gépben is működik a tízesátvitel, azaz ha az egyik helyiérték kereke a 9-es állásból a 0-ba fordul, akkor az a következő nagyobb helyiérték kerekét is egy foggal elfordítja.

A pascaline

 

Blaise Pascal és apja, Étienne Pascal életét, tevékenységét nem ismertetjük részletesebben, de annyit azért érdemes megemlíteni, hogy Pascal apja is tudományos érdeklődésű volt, részt vett azokon az összejöveteleken, amelyek intézményes utódja minden akadémiák közül az első, a Francia Tudományos Akadémia létrejött. Apró, de mégis jellemző momentum, hogy mikor látta fia matematikai érdeklődését, akkor Euklidesz Elemek c. munkáját adta a kezébe, hogy szabadidejében olvasgassa (mindez a XVII. század elején történt!). Az ifjú Pascal az egyik legnagyobb francia tudóssá vált különösen a matematikában és a fizikában fűződik a nevéhez sok tudományos eredmény, nevét ma a nyomás SI-rendszerbeli mértékegyége viseli: pascal. Mindössze 39 éves volt, amikor meghalt.

Chateaubriand a következő szavakkal méltatta Pascal zsenialitását 1802-ben: „Volt egyszer egy ember, aki … tizenkilenc évesen géppé szerkesztett egy tudományt, amely addig csak az értelemben lakozott.”

Pascal szerkezetét Gottfried Wilhelm Leibnitz 1671-ben továbbfejlesztette, így már a négy alapművelet elvégezhető volt vele.

Nem túlzás azt állítani, hogy a számítástechnika történetében is mérföldkő volt a pascaline.

Sokáig úgy tartották, hogy Pascalé volt az első mechanikus számológép, de azóta bebizonyosodott, hogy Wilhelm Schickard nevéhez fűződik az első ilyen szerkezet. Schickard csillagász volt, és 1623-ban készítette el számológépét, amely a négy alapművelet elvégzésére volt alkalmas, tehát többet tudott, mint Pascal gépe. Shickard szerkezete tűzvészben elpusztult.

Pascal tőle függetlenül fejlesztette ki saját gépét, és mivel ez került „sorozatgyártásba”, illetve ennek példányai maradtak fenn, joggal tekinthetjük Pascal alkotását az „őseredetinek”.

A matematika és a számítástechnika kapcsolata az adózással a jelenben

Nem túlzás azt állítani, hogy ma már számítástechnikai háttér nélkül az adórendszer nem működhet. Az elektronikus adóbevallások rendszere, az adóhivatal által tárolt és kezelt adatmennyiség manuálisan, papíralapon már nem elképzelhető. Már egy évtizeddel ezelőtt is közel 300 kilométer iratanyaggal rendelkezett az akkori APEH. Szerencsére az elektronikus bevallási és adatkezelési rendszer miatt ennek növekedésével már nem kell számolni. Ugyanakkor az adóhivatal feladatkörének bővülése (integráció a társadalombiztosítás egy részével, az illetékhivatalokkal, a vámhatósággal, egyes munkaügyi, illetve a szerencsejátékokkal kapcsolatos hatósági feladatok átvétele stb.) még tovább növelte az elektronikusan ellátandó feladatok körét, illetve az ezekhez szükséges háttérkapacitások nagyságrendjét. A nemzetközi (első sorban az EU-n belüli) adó-együttműködés és információcsere szintén lényegesen bővítette ezeket a kapacitásszükségleteket. Szerencsére a számítástechnika fejlődése ezekkel az igényekkel könnyedén lépést tud tartani.

A matematika alkalmazási lehetőségei igen széleskörűek az adózás, adóztatás területén is.

Természetes, hogy az adótörvényeknek nagyon szigorú logikai szabályoknak is meg kell felelniük, nem véletlen, hogy a jogszabályok előkészítésében, illetve végrehajtásában számos matematikus is közreműködik.

A matematikusok, illetve a matematikai ismeretek rendkívül fontosak az ellenőrzés területén is. Az önbevallási rendszer, az adatmennyiség nagysága megköveteli, hogy valószínűségi alapon, kockázatbecsléssel válasszák ki ellenőrzésre az adózókat. Nincs (és nem is lehet) teljes körű az ellenőrzés, de fontos az, hogy azok az adózók, akik kevésbé kockázatosak, ritkábban kerüljenek kapcsolatba az adóhatósági elszámoltatással, ezzel szemben az adóelkerülést rutinszerűen gyakorlók nagy eséllyel ellenőrzésre kerüljenek még mielőtt mindannyiunk közös pénzét, a költségvetési forrásokat lenyúlják vagy nem fizetik be. Ehhez elengedhetetlenek a matematikai statisztikai módszerek, a valószínűségszámítás (amelyet a fentebb említett Blaise Pascal fejlesztett ki!) alkalmazása, a sztochasztikus folyamatok elemzése.

Irodalom:

Rényi Alfréd: Levelek a valószínűségről (Neumann Kht., Budapest, 2004)

Waerden, Barten Leendert van der: Egy tudomány ébredése – Egyiptomi, babiloni és görög matematika (Gondolat, Budapest, 1977)

Zaslavsky, Claudia: Afrika számol (Gondolat, Budapest, 1984)

---