Ez a cikk több mint egy éve került publikálásra. A cikkben szereplő információk a megjelenéskor pontosak voltak, de mára elavultak lehetnek.
Leonardo da Vinci 1519. május 2-án, azaz 500 évvel ezelőtt hunyt el. Tömegével jelennek meg az őt és művészetét méltató írások, kiállításokon mutatják be műveit, filmek készülnek róla, Olaszország emlékévet hirdetett a tiszteletére. Alig esik szó viszont arról, hogy az adózás, a pénzügyek, illetve a matematikai tudományok hogyan kapcsolódnak a reneszánsz géniusz életéhez. Pedig van miről szólni!
“Nincsen semmi bizonyosság azokban a tudományokban, amelyekben nem lehet alkalmazni a matematikai tudományok valamelyikét, vagy amelyek nem fonódnak össze a matematikai tudományokkal.”
(Leonardo da Vinci: Tudomány és művészet)
Leonardo (1452. április 15. – 1519. május 2.) életében alig 13 festményt fejezett be. A Mona Lisa, a Hermelines hölgy, A Szűz, a Gyermek és Szent Anna, a Sziklás Madonna, az Utolsó vacsora, a Keresztelő Szent János a művészettörténet legjelentősebb alkotásai közé tartoznak, értékük felbecsülhetetlen. Leonardo 67 évesen bekövetkezett halálakor lényegében egyedül maradt, csak tanítványa, Francesco Melzi volt mellette, akire ráhagyta a még vele lévő műalkotásait és sok ezer oldalt kitevő rajzait, feljegyzéseit, szerszámait. Neki köszönhetjük, hogy ezek jelentős része a mai napig fennmaradt.
Leonardo da Vinci: Önarckép
A hagyaték (is) bizonyítja, hogy Leonardo jelentős tudományos munkásságot is folytatott, anatómiai felfedezései, műszaki alkotásai, hidraulikai és optikai kísérletei a kor körülményei között kiemelkedőek voltak. Műszaki tervei jóval megelőzték azok tényleges megvalósíthatóságának idejét (pl. harckocsi, ejtőernyő, siklórepülő, helikopter, búvárruha).
Nem mélyedünk el abban, hogy Leonardo festő, tudós, matematikus, hadmérnök, feltaláló, anatómus, szobrász, építész, zeneszerző, költő és író volt-e, hiszen ezen művészetek, tudományok mindegyikével foglalkozott. Sokkal célszerűbb azt mondani, hogy ő egy itáliai polihisztor volt a reneszánsz ember archetípusa. Írásunkban a bevezetőben is jelzett témákkal foglalkozunk.
Leonardo származása
Évszázadokon át bizonytalanság övezte Leonardo származását. Az biztosnak látszott, hogy egy Caterina nevű nő házasságon kívül született gyermeke volt, de Caterina származását sokáig nem tudták eldönteni a kutatók. Caterináról feltételezték, hogy esetleg Észak-Afrikából, esetleg a törökök által birtokolt balkáni területekről Itáliába hurcolt rabszolga volt (a rabszolgalányoknak gyakran adták a Caterina nevet), de az is felmerült, hogy egy elszegényedett parasztlány volt. Az apjáról már bizonyosabb információk voltak, hiszen gondoskodott törvénytelen gyermekének neveléséről, iskolázásáról, mindez bizonyossá tette, hogy jómódú polgár volt.
A legújabb kutatási eredményeit tette közzé Martin Kemp, az Oxfordi Egyetem művészettörténész professzora 2017-ben megjelent kötete. Kemp professzor a Vinci-ben és Firenzében fellelhető XV. századi vagyonbevallásokat, pénzügyi nyilvántartásokat tanulmányozta át, ezekből állította össze a „helyzetképet”.
Leonardo anyja Caterina di Meo Lippi volt, akit Pepo nevű testvérével együtt Caterina nagyanyja nevelt a Vinci-től másfél kilométerre lévő házukban. A lány apja még fiatalon eltűnt a zsúfolt házból (valószínűleg meghalt), a költségeket is alig tudták megfizetni. A nagymama 1451 előtt meghalt, a gyerekekre maradt a romos ház és egy szarvasmarha.
Caterinát 1451 júliusában – ekkor 15 éves volt a lány – elcsábította egy ambiciózus firenzei ügyvéd, a 25 éves Piero da Vinci. Ennek eredménye lett Leonardo. Az ügyvéd társadalmi rangjának megfelelően házasodott, de segítették Caterinát a megélhetésben.
Caterinát ezt követően gyorsan feleségül vette Antonio di Piero Buti, egy helyi gazdálkodó a saját társadalmi rétegéből. Caterinának még egy fia és négy lánya született.
Leonardo apai nagyapja, Antonio da Vinci közeli házában nevelkedett. Az ilyen „nevelési megállapodások” nem voltak ritkák akkoriban. Antonio 1457. évre vonatkozó adóbevallása felsorolja a családtagokat, beleértve Piero törvényen kívüli fiát, Leonardót is, mint Piero és Caterina gyermekét. Leonardo először Vinciben tanult később apja Firenzébe vitte, a taníttatását a későbbiekben is finanszírozta.
Hogy miért kellett ennek feltárásához ötszáz évnek eltelnie? Valószínűleg a kutatók nem tartották méltónak mindenféle pénzügyi nyilvántartások silabizálását, amelyekből csak hosszú, kitartó munkával csikarhattak volna ki eredményt. Ezt Martin Kemp most megtette!
Az utolsó vacsora c. freskó szép példája a lineáris perspektívikus ábrázolásnak (horizontvonal, elnyelési pont stb.)
Leonardo jövedelmei
Leonardo már 30 évesen elismert művész volt. Sokoldalú tehetségét búsás fizetéssel jutalmazták. Néhány fennmaradt pénzügyi feljegyzésből lehet következtetni arra, hogy 1500 körül az éves fizetése – mai értékben számítva –100 ezer dollár körül volt. Az alkalmi megrendeléseket ezen felül honorálták a számára. És mindezt jövedelemadó-mentesen, mivel azt csak három évszázaddal később „találták fel”.
Mikor Milánóból menekülni kényszerült 600 florint helyezett letétbe, ennek értéke mintegy 150 ezer dollár.
Uralkodók (a milánói herceg, a firenzei nagyherceg, a velencei dózse, a pápa, a francia király) versengtek érte, már azért is jól megfizették, ha tanácsadóként a közelükben tartózkodott.
A Milánót meghódító francia király, I. Ferenc meghívására 1517-ben Franciaországba költözött. Az amboise-i kastélyt bocsátották a rendelkezésére, majd a király neki ajándékozta a közeli cloux-i (mai nevén Clos Lucé) 8 szobás kastélyt. A király első festőjeként, mérnökeként és építészeként évi 1000 écu járadékot is kapott, ez mai értéken megközelítette a félmillió dollárt. Ezt már nem sokáig élvezhette, mert Franciaországba érkezése után két évvel meghalt.
Halála előtt volt miről végrendelkeznie. Mivel élete végéig nőtlen volt (egy megjegyzéséből tudjuk, hogy elutasította a férfi és nő közötti testi kapcsolatot), így segédei, szolgája és féltestvérei javára rendelkezett. Melzi nevű segéde Franciaországban is végig vele volt, kedvenc tanítványa, Salai ide már nem követte. Végrendeletének végrehajtója Melzi volt, aki ezt a feladatot igen tisztességesen látta el, ennek is köszönhető, hogy oly sok minden fennmaradt Leonardótól.
Aranymetszések a Mona Lisán
Aranymetszés, lineáris perspektíva, kockakettőzés, a kör négyszögesítése, idomok transzformációja, a gúla súlypontja
Leonardo „szakmáinál” szokás felsorolni, hogy matematikus is volt. Erről azért is kell említést tenni, mert ennek a „matematikusságnak” érdekes gazdaságtörténeti vonatkozásai is vannak. Ennek kapcsolódási pontja pedig Luca Pacioli, akinek ’Summa de Arithmetica, geometria, proportioni és proportionalità’, magyarul ’Az aritmetika, a geometria, az arányok és árnyalatok összefoglaló tárgyalása’ című könyve 1494-ben jelent meg Velencében.
Fra Luca Pacioli, a matematikus (szoborrészlet)
A könyv gazdaságtörténeti jelentőségét az adja, hogy a ma ismert kettős könyvvitel rendszerének első részletes leírását is – más matematikai stúdiumok mellett – ez a kötet tartalmazza, ennek alapján is nevezik Paciolit a „könyvelés atyjának” (róla a későbbiekben külön írásban fogunk értekezni).
A könyv megjelenése idején Leonardo Milánóban a herceg szolgálatában dolgozott, a Corte Vecchiában lakott. A minden iránt érdeklődő Leonardo gyorsan megvásárolta a könyvet (a könyv igen drága volt, kétszer annyiba került, mint egy Biblia), és elkezdte azt tanulmányozni.
Két évvel később Pacioli is a milánói herceg szolgálatába állt, Leonardóval jó barátok lettek, olyannyira, hogy Leonardo a lakását is megosztotta a matematikussal.
Pacioli matematikára tanította Leonardót, hálából a művész rajzokat készített a matematikus készülő új könyvéhez. A könyv később meg is jelent, a címe ’De Divine Proportione’ (Az isteni arányosságról) volt, és Leonardo mintegy hatvan rajza illusztrálta. Ez volt az egyetlen mű, amely Leonardo rajzait életében tette közkinccsé nyomtatásban is. A mű az arányok szerepét ismerteti és elemzi az építőművészetben, a képzőművészetben, az anatómiában és a matematikában. Pacioli nevezte először az aranymetszés arányszámát isteni arányosságnak.
Leonardo egyik rajza a De Divina Proportione erdetei kiadásából
Leonardo nem volt „matekzseni”! Az aritmetikai (számolási) ismereteknél a négyzetre emelés és a gyökvonás megértése már gondot jelentett művésznek, az algebra (~egyenletek megoldása) pedig szinte felfoghatatlan volt számára. Ezekkel szemben a jó térlátással rendelkező Leonardo élvezettel vetette bele magát a geometriába. Olyannyira, hogy még önálló eredményt is ért el benne!
A perspektivikus ábrázolás és a szemnek tetsző arányosságok mögött Leonardo felismerte a matematikai törvényszerűségeket, rájött, hogy ezek gyakran a természetben is megjelennek. A lineáris perspektíva és az aranymetszés megjelent Leonardo műveiben is, így a Milánóban festett ’Utolsó vacsora’ c. freskóján, vagy a később festett Mona Lisán is.
Az aranymetszés [az az arányosság, amikor két szakasz közül a hosszabbik (a) úgy aránylik a rövidebbhez (b), mint a két szakasz együttesen (a+b) a hosszabbhoz (b), képlettel leírva a/b=(a+b)/a ] természeti megjelenésére számos példát lehet találni, ezekről Leonardo is sok rajzot készített. Az arány kiszámítása már nehezebb volt, lévén itt egy irracionális számról van szó. Ez körülbelül 1,618 [pontosan (1 + Ö2)/2].
Az arányosságok matematikai hátterére vonatkozik Leonardo következő megjegyzése:
| Az arányt nem csak a számokban és a mértékekben kell felismerni, hanem a hangokban, súlyban, időben és elhelyezkedésben is, illetve bármely hatóerőben. |
Hogy ebben mennyire igaza volt, azt nem tudhatta még bizonyossággal, hiszen például a frekvencia vagy a hullámhossz csak jóval később került a fizika eszköztárába, ma már mérésekkel is igazolható például a harmonikus hangsorok egyes hangjai közötti matematikai összefüggés.
Foglalkozott Leonardo a kockakettőzés problémájával is. Ennek az ún. déloszi problémának a lényege az, hogy szerkesszünk egy adott kocka éle alapján egy olyan szakaszt, amelyet egy nagyobb kocka élhosszúságának véve, az eredeti kocka kétszeres térfogatát kapjuk. Ennek megszerkesztése körzővel és egyenes vonalzóval nem megoldható, kiszámításához a 3Ö2 meghatározására lenne szükség.
Leonardo legjelentősebb matematikai eredménye az egyenes gúla súlypontjának meghatározása. Ez a magasságvonal talpponthoz közelebbi negyedelő pontjában található.
Leonardo rajzai és jegyzetei a piramis magasságpontjának meghatározásához
Nagyon sokat foglalkozott Leonardo azzal, hogy hogyan lehet egyenes szakaszok, illetve görbe vonalakkal határolt idomok között úgy átalakításokat (transzformációkat) végezni, hogy azok megtartsák területüket. A klasszikus példa erre Hippokratész holdacskái, amikor egy derékszögű háromszög oldalaira félköröket rajzolunk, a kialakult két holdsarló területe megegyezik a háromszög területével (ld. az alábbi ábrát).
Hippokratész holdacskái
Leonardo ezt továbbfejlesztve rengeteg rajzot készített, arányokat, területeket számolgatott, amint ezt az alábbi lapja is mutatja.
Megpróbálkozott Leonardo a kör négyszögesítésével is. A kérdés itt az, hogy hogyan szerkeszthető egy adott körrel azonos területű négyzet. A p transzcendens szám, így a szerkesztés nem lehetséges, ez Leonardónak sem sikerülhetett.
Ezeknek a transzformációknak a kezelésére Leonardo korában még nem volt megfelelő matematikai eszközrendszer, csak két évszázaddal később, Newton és Leibniz fejlesztették ki ezeket (a differenciál- és integrálszámítást).
Sok jegyzete, rajza, tanulmánya volt Leonardónak a transzformációkról. Rá jellemző módon kijelentette (1505-ben), hogy ír majd egy könyvet „az átalakulásról, nevezetesen arról, hogy egy test egy másikká alakul anélkül, az anyaga mennyisége csökkenne vagy növekedne”. A könyv – mint Leonardo oly sok terve – csak vágy, elképzelés maradt, itt is az utókorra maradt a feladat, hogy sok ezer oldalt kitevő jegyzeteiből, ábráiból kiemelje azok érdemi tartalmát.
Külön könyvet szándékozott írni a kör négyszögesítéséről. Még egy munkacím is ismert tőle: De Ludo Geometrico (A geometriai játékról). Összesen 169 leírt és rajzzal illusztrált módszert dolgozott ki erre. Még a halála előtt használt íven is háromszögek és négyszögek rajzai találhatóak, és a végső feljegyzése: „most abbahagyom, mert kihűl a leves”.
Irodalom:
Duvernoy, Sylvie: Leonardo and Theoretical Mathematics
Kemp, Martin: Mona Lisa: The People and the Painting (Oxford University Press, 2017, USA)
Isaacson, Walter: Leonardo da Vinci – A zseni közelről (Helikon Kiadó, 2018, Budapest)
Pacioli, Luca: De Divina Proportione (eredeti kiadás)
